Pengertian eksponen
Eksponen diartikan sebagai perkalian atau pembagian bilangan dengan besaran yang diulang-ulang (repetisi). Sesuai dengan definisinya, eksponen mengandung bentuk perpangkatan dan akar.
Bilangan bereksponen (berpangkat) dinyatakan dengan :
\(a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a … \times a = a^{n} \)
Notasi \(a^{n}\) dibaca “a pangkat n”
\(\begin {eqnarray}
\frac {(x^{-4}y^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}}(x^{-\frac{7}{3}}y^{-1})^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}}y^{3})^{-\frac{1}{6}}(x^{-\frac{1}{4}} y^{-1})^{\frac{1}{3}}} &=& x^{2-\frac{7}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \times y ^{-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} \\
&=& x^{\frac{24-14+1+1}{12}} \times y^{0} \\
&=& x^{\frac{12}{12}} \\
&=& x
\end{eqnarray}\)
2. SIMAK UI TAHUN 2009 KODE 911
\(\begin{eqnarray} 5^{x_{1}} \cdot 5^{x_{2}} &=& 5 \\ 5^{x_{1} + x_{2}} &=& 5^{1} \\ x_{1} + x_{2} &=& 1 \\ \end{eqnarray}\)
Bilangan bereksponen (berpangkat) dinyatakan dengan :
\(a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a … \times a = a^{n} \)
Notasi \(a^{n}\) dibaca “a pangkat n”
- a disebut bilangan pokok (basis)
- n disebut bilangan pangkat
Sifat-sifat eksponen
untuk a,b, m dan n anggota bilangan real berlaku sifat :
1. \(a^{m}\times a^{n} = a^{m + n}\)
2. \(\frac {a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}\)
3. \(\frac{1}{a^m} = a^{- m}\)
4. \((a^{m})^{n} = a^{m \times n}\)
5. \(a^{0} = 1, a\neq 0\)
6. \(a^{n} \times b^{n} = (ab)^{n}\)
7. \(\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} = (\frac {a}{b})^{n}\)
8. \(\sqrt [n]{a^{m}}= a^{\frac{m}{n}}\)
Persamaan eskponen
1. \(a^{f(x)} =1 \Rightarrow f(x) = 0 \)
2. \(a^{f(x)} = a^{p} \Rightarrow f(x) = p \)
3. \(a^{f(x)} =a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x) \)
4. \(a^{f(x)} = b^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0 \)
5. \(a^{2f(x)+b} + a^{f(x) + c} +d = 0 \Rightarrow a^{2f(x)} \times a^{b} + a^{f(x)} \times a^{c} + d = 0\)
Pertidaksamaan eksponen
1. Untuk \( 0 < a < 1\) maka berlaku :
- \(a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \Rightarrow f(x) \leq g(x)\)
- \(a^{g(x)} \leq a^{g(x)}\Rightarrow f(x) \geq g(x) \)
2. Untuk a > 1 maka berlaku :
- \(a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \Rightarrow f(x) \geq g(x) \)
- \(a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \Rightarrow f(x) \leq g(x)\)
Contoh Soal :
1.UM UGM TAHUN 2006
bentuk sederhana dari \(\frac {(x^{-4}y^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}}(x^{-\frac{7}{3}}y^{-1})^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}}y^{3})^{-\frac{1}{6}}(x^{-\frac{1}{4}} y^{-1})^{\frac{1}{3}}}\) adalah….
a. y
b. x
c. xy
d. \(\frac{x}{y}\)
e. \(\frac{y}{x}\)
PEMBAHASAN :
\frac {(x^{-4}y^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}}(x^{-\frac{7}{3}}y^{-1})^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}}y^{3})^{-\frac{1}{6}}(x^{-\frac{1}{4}} y^{-1})^{\frac{1}{3}}} &=& x^{2-\frac{7}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \times y ^{-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} \\
&=& x^{\frac{24-14+1+1}{12}} \times y^{0} \\
&=& x^{\frac{12}{12}} \\
&=& x
\end{eqnarray}\)
JAWABAN : B
Jika \(x_{1}\) dan \(x_{2}\) merupakan akar-akar persamaan \(5^{x+1} + 5^{2-x} = 126\), maka \(x_{1} + x_{2} = …\)
a. \(25\frac{1}{2}\)
b. 5
c. 1
d. -1
e. -3
PEMBAHASAN :
\(\begin{eqnarray}
5^{x+1} + 5^{2-x} &=& 126 \\
5^{x} \cdot 5 + 5^{2} \cdot 5^{-x} &=& 126
\end {eqnarray} \)
Misalkan \(5^{x} = y\)
\(\begin{eqnarray}
5y + \frac{25}{y} &=& 126 \\
5y^{2} + 25 &=& 126y \\
5y^{2} – 126y + 25 &=& 0 \\
y_{1} \cdot y_{2} &=& \frac{c}{a} \\
&=& \frac{25}{5} \\
&=& 5
\end {eqnarray}\)
Kemudian bentuk permisalan y ditulis kembali dalam bentuk x
\(\begin{eqnarray} 5^{x_{1}} \cdot 5^{x_{2}} &=& 5 \\ 5^{x_{1} + x_{2}} &=& 5^{1} \\ x_{1} + x_{2} &=& 1 \\ \end{eqnarray}\)
JAWABAN: C
3. UM UGM TAHUN 2008 KODE 482
Bila \( \frac{4}{5}(2^{3x - 1}) + \frac {8^{x}} {10} = 2 \), maka x = ….
a. \(-\frac {3}{2}\)
b. \(-\frac{2}{3}\)
c. 1
d. \( \frac{2}{3}\)
e. \(\frac{3}{2}\)
PEMBAHASAN :
\(\begin{eqnarray}
\frac{4}{5} (2^{3x - 1}) + \frac {8^{x}} {10} &=& 2 \\
\frac{4}{5} (\frac{2^{3x}}{2}) + \frac{2^{3x}}{10} &=& 2 \\
\end {eqnarray}\)
Misalkan \(2^{3x} = y \)
\(\begin{eqnarray}
\frac{4y}{10} + \frac {y}{10} &=& 2 \\
4y + y &=& 20 \\
5y &=& 20 \\
y &=& 4 \\
2^{3x} &=& 2^{2} \\
3x &=& 2 \\
x &=& \frac{2}{3} \\
\end{eqnarray}\)
JAWABAN : D
4. SPMB 2005
Jika \(f (x) = 2^{2x} + 2^{x + 1} - 3\) dan \( g(x) = 2^{x} + 3\), maka \(\frac{f(x)}{g(x)} = …\)
a. \(2^{x} + 3\)
b. \(2^{x} + 1\)
c. \(2^{x}\)
d. \(2^{x} - 1\)
e. \(2^{x} - 3\)
PEMBAHASAN
\(\begin{eqnarray}
\frac{f(x)}{g(x)} &=& \frac{2^{2x} + 2^{x + 1} -3} {2^{x} + 3} \\
&=& \frac {2^{x(2)} + 2^{x} \cdot 2 -3}{2^{x} + 3}
\end{eqnarray}\)
Misalkan \(2^{x} = y \)
\(\begin{eqnarray}
\frac {f(x)}{g(x)} &=& \frac {y^{2} + 3y -3}{y +3} \\
&=& \frac{(y - 1)(y + 3)}{y + 3} \\
&=& y -1 \\
&=& 2^{x} - 1
\end{eqnarray}\)
JAWABAN : D
5. SIMAK UI TAHUN 2010 KODE 961
Jika \( a^{3} – a – 1 = 0\), maka \(a^{4} +a^{3} – a^{2} -2a +9 = … .\)
a. 4
b. 10
c. 16
d. 22
e. 28
PEMBAHASAN :
\(\begin{eqnarray}
a^{4} +a^{3} – a^{2} -2a +9 &=& a (a^{3} – a -1) + a^{3} – a – 1 +10 \\
&=& a (0) + 0 + 10 \\
&=& 10
\end{eqnarray}\)
JAWABAN : B
6. UNPAD 2010 KODE 041
Jika \(4^{x} = 6\), maka \(\frac {8^{x} – 8^{-x}}{2^{x}+ 2^{-x}} = … .\)
a. \(\frac{29}{8}\)
b. \(\frac{143}{40}\)
c. \(\frac{31}{6}\)
d. \(\frac{16}{3}\)
e. \(\frac{43}{6}\)
PEMBAHASAN :
\(\begin{eqnarray}
4^{x} &=& 6 \\
2^{2x} &=& 6 \\
2^{x} &=& \sqrt {6}
2^{3x} &=& 6\sqrt {6}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}
\frac {8^{x} – 8^{-x}}{2^{x}+ 2^{-x}} &=& \frac{2^{3x} - \frac{1}{2^{3x}}}{2^{x} + \frac{1}{2^{x}}} \\
&=& \frac{6\sqrt {6} - \frac{1}{6\sqrt{6}}} {\sqrt {6} + \frac {1}{\sqrt {6}}} \\
&=& \frac{6\sqrt {6} - \frac{1}{6\sqrt{6}}} {\sqrt {6} + \frac {1}{\sqrt {6}}} \times \frac {\sqrt {6}}{\sqrt {6}}\\
&=& \frac {36 + \frac{1}{6}} { 6 + 1} \\
&=& \frac { 417}{41} \\
&=& \frac{31}{6}
\end{eqnarray}\)
JAWABAN : C
7. SBMPTN 2013 KODE 329
Jika \(9^{m + 1} – 2 \cdot 9^{m} = 14\), maka \(27^{m} = … .\)
a. \(\sqrt {2}\)
b. 2
c. \( 2\sqrt {2}\)
d. 4
e. 6
PEMBAHASAN :
\(\begin{eqnarray}
9^{m + 1} – 2\cdot 9^{m} &=& 14 \\
9^{m} \cdot 9 – 2\cdot 9^{m} &=& 14
\end{eqnarray}\)
Misalkan \(9^{m} = y\)
\(\begin{eqnarray}
9y - 2y &=& 14 \\
7y &=& 14 \\ y &=& 2 \\
9^{m} &=& 2 \\
3^{2m} &=& 2 \\
3^{m} &=& \sqrt {2} \\
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}
27^{m} &=& 3^{3(m)} \\
&=& 3^{m (3)} \\
&=& (\sqrt {2})^{3} \\
&=& 2\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
JAWABAN : C
8. SIMAK UI TAHUN 2009 KODE 951
Jika \(x + \frac{1}{x} = 5\) maka nilai dari \(x^{3} + \frac {1}{x^{3}} = … .\)
a. 140
b. 125
c. 110
d. 75
e. 15
PEMBAHASAN :
INGAT : \(A^{3} + B^{3} = (A+B)^{3} -3AB (A+B)\)
\(\begin{eqnarray}
x^{3} + \frac {1}{x^{3}} &=& (x^{3} + \frac {1}{x^{3}})^{3} -3x \cdot \frac{1}{x} (x + {\frac{1}{x}}) \\
&=& (5)^{3} – 3(5) \\
&=& 125 -15 \\
&=& 110
\end{eqnarray}\)
JAWABAN : C
9. SPMB 2004
Dalam bentuk pangkat positif dan bentuk akar, bentuk sederhana dari \(\frac{(x^{-1} –y^{1}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}\) adalah ….
a. \(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{xy}\)
b. \(\frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{xy}\)
c. \(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{xy}\)
d. \(xy (\sqrt{x} + \sqrt{y})\)
e. \( xy(\sqrt{x} - \sqrt {y})\)
PEMBAHASAN :
\(\begin{eqnarray}
\frac{(x^{-1} –y^{1}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} &=& \frac {\frac {1}{x} - \frac{1}{y}} {\sqrt{x} + \sqrt{y}} \\
&=& \frac {\frac {1}{x} - \frac{1}{y}} {\sqrt{x} + \sqrt{y}} \times \frac {\sqrt {x} - \sqrt {y}}{\sqrt{x} - \sqrt {y}} \\
&=&\frac{\frac {y-x}{xy}(\sqrt {x} - \sqrt {y})}{x- y} \\
&=& \frac {\frac {-(x - y)}{xy}(\sqrt {x} - \sqrt {y})}{x - y} \\
&=& \frac {\sqrt {y}- \sqrt {x}}{xy}
\end{eqnarray}\)
JAWABAN : B
10. SBMPTN 2010
Jika n memenuhi \(25^{0,25} \times25^{0,25} \times25^{0,25} \times … \times 25^{0,25} =125 ) \), maka \((n-3)(n+2 ) = ...\)
a. 36
b. 32
c. 28
d. 26
e. 24
PEMBAHASAN :
\(\begin{eqnarray}
(25^{0,25})^{n} &=& 125\\
25^{0,25n} &=& 125 \\
(5^{2})^{0,25n} &=& 5^{3} \\
5^{0,5n} &=& 5^{3} \\
0,5n &=& 3 \\
n &=& 6 \\
(n -3)(n+2) &=& (6 -3)(6+2) \\
&=& 3 \times 8 \\
&=& 24
\end{eqnarray}\)
JAWABAN : E
1 Comments
Tolong dibuatkan lagi dong materi yang lainnya.
ReplyDelete