Pengertian eksponen




Eksponen diartikan sebagai perkalian atau pembagian bilangan dengan besaran yang diulang-ulang (repetisi). Sesuai dengan definisinya, eksponen mengandung bentuk perpangkatan dan akar.
Bilangan bereksponen (berpangkat) dinyatakan dengan :
\(a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a … \times a = a^{n} \)
Notasi \(a^{n}\) dibaca “a pangkat n”
  • a disebut bilangan pokok (basis)
  • n disebut bilangan pangkat

Sifat-sifat eksponen

untuk a,b, m dan n anggota bilangan real berlaku sifat :
1. \(a^{m}\times a^{n} = a^{m + n}\)

2. \(\frac {a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}\)

3. \(\frac{1}{a^m} = a^{- m}\)

4. \((a^{m})^{n} = a^{m \times n}\)

5. \(a^{0} = 1, a\neq 0\)

6. \(a^{n} \times b^{n} = (ab)^{n}\)

7. \(\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} = (\frac {a}{b})^{n}\)

8. \(\sqrt [n]{a^{m}}= a^{\frac{m}{n}}\)

Persamaan eskponen

1. \(a^{f(x)} =1 \Rightarrow f(x) = 0 \)

2. \(a^{f(x)} = a^{p} \Rightarrow f(x) = p \)

3. \(a^{f(x)} =a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x) \)

4. \(a^{f(x)} = b^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0 \)

5. \(a^{2f(x)+b} + a^{f(x) + c} +d = 0 \Rightarrow a^{2f(x)} \times a^{b} + a^{f(x)} \times a^{c} + d = 0\)

Pertidaksamaan eksponen

1. Untuk \( 0 < a < 1\) maka berlaku  :
  • \(a^{f(x)} \geq a^{g(x)}  \Rightarrow f(x) \leq g(x)\)
  • \(a^{g(x)} \leq a^{g(x)}\Rightarrow f(x) \geq g(x) \)

2. Untuk a > 1 maka berlaku :
  • \(a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \Rightarrow f(x) \geq g(x) \)
  • \(a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \Rightarrow f(x) \leq g(x)\)

Contoh Soal :

1.UM UGM TAHUN 2006

bentuk sederhana  dari \(\frac {(x^{-4}y^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}}(x^{-\frac{7}{3}}y^{-1})^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}}y^{3})^{-\frac{1}{6}}(x^{-\frac{1}{4}} y^{-1})^{\frac{1}{3}}}\) adalah….
a. y
b. x
c. xy
d. \(\frac{x}{y}\)
e. \(\frac{y}{x}\)
PEMBAHASAN :

\(\begin {eqnarray}
\frac {(x^{-4}y^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}}(x^{-\frac{7}{3}}y^{-1})^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}}y^{3})^{-\frac{1}{6}}(x^{-\frac{1}{4}} y^{-1})^{\frac{1}{3}}} &=& x^{2-\frac{7}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \times y ^{-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} \\
&=& x^{\frac{24-14+1+1}{12}} \times y^{0} \\
&=& x^{\frac{12}{12}} \\
&=& x
\end{eqnarray}\)

JAWABAN : B


2. SIMAK UI TAHUN 2009 KODE 911 
Jika \(x_{1}\) dan \(x_{2}\) merupakan akar-akar persamaan \(5^{x+1} + 5^{2-x} = 126\), maka \(x_{1} + x_{2} = …\) 
a. \(25\frac{1}{2}\) 
b. 5 
c. 1
d. -1 
e. -3 
PEMBAHASAN : 

\(\begin{eqnarray} 5^{x+1} + 5^{2-x} &=& 126 \\ 5^{x} \cdot 5 + 5^{2} \cdot 5^{-x} &=& 126 \end {eqnarray} \) 

Misalkan \(5^{x} = y\) 
\(\begin{eqnarray} 5y + \frac{25}{y} &=& 126 \\ 5y^{2} + 25 &=& 126y \\ 5y^{2} – 126y + 25 &=& 0 \\ y_{1} \cdot y_{2} &=& \frac{c}{a} \\ &=& \frac{25}{5} \\ &=& 5 \end {eqnarray}\) 

Kemudian bentuk permisalan y ditulis kembali dalam bentuk x  

\(\begin{eqnarray} 5^{x_{1}} \cdot 5^{x_{2}} &=& 5 \\ 5^{x_{1} + x_{2}} &=& 5^{1} \\ x_{1} + x_{2} &=& 1 \\ \end{eqnarray}\)
JAWABAN: C 

3. UM UGM TAHUN 2008 KODE 482 
Bila \( \frac{4}{5}(2^{3x - 1}) + \frac {8^{x}} {10} = 2 \), maka x = …. 
a. \(-\frac {3}{2}\) 
b. \(-\frac{2}{3}\) 
c. 1 
d. \( \frac{2}{3}\) 
e. \(\frac{3}{2}\) 
PEMBAHASAN : 

\(\begin{eqnarray} \frac{4}{5} (2^{3x - 1}) + \frac {8^{x}} {10} &=& 2 \\ \frac{4}{5} (\frac{2^{3x}}{2}) + \frac{2^{3x}}{10} &=& 2 \\ \end {eqnarray}\) 

Misalkan \(2^{3x} = y \)
 \(\begin{eqnarray} \frac{4y}{10} + \frac {y}{10} &=& 2 \\ 4y + y &=& 20 \\ 5y &=& 20 \\ y &=& 4 \\ 2^{3x} &=& 2^{2} \\ 3x &=& 2 \\ x &=& \frac{2}{3} \\ \end{eqnarray}\) 
JAWABAN : D
 
4. SPMB 2005 
Jika \(f (x) = 2^{2x} + 2^{x + 1} - 3\) dan \( g(x) = 2^{x} + 3\), maka \(\frac{f(x)}{g(x)} = …\) 
a. \(2^{x} + 3\) 
b. \(2^{x} + 1\) 
c. \(2^{x}\) 
d. \(2^{x} - 1\) 
e. \(2^{x} - 3\) 
PEMBAHASAN 

\(\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{g(x)} &=& \frac{2^{2x} + 2^{x + 1} -3} {2^{x} + 3} \\ &=& \frac {2^{x(2)} + 2^{x} \cdot 2 -3}{2^{x} + 3} \end{eqnarray}\) 

Misalkan \(2^{x} = y \) 
\(\begin{eqnarray} \frac {f(x)}{g(x)} &=& \frac {y^{2} + 3y -3}{y +3} \\ &=& \frac{(y - 1)(y + 3)}{y + 3} \\ &=& y -1 \\ &=& 2^{x} - 1 \end{eqnarray}\) 
JAWABAN : D

5. SIMAK UI TAHUN 2010 KODE 961 
Jika \( a^{3} – a – 1 = 0\), maka \(a^{4} +a^{3} – a^{2} -2a +9 = … .\) 
a. 4 
b. 10 
c. 16 
d. 22 
e. 28 
PEMBAHASAN : 

\(\begin{eqnarray} a^{4} +a^{3} – a^{2} -2a +9 &=& a (a^{3} – a -1) + a^{3} – a – 1 +10 \\ &=& a (0) + 0 + 10 \\ &=& 10 \end{eqnarray}\) 
JAWABAN : B

6. UNPAD 2010 KODE 041 
Jika \(4^{x} = 6\), maka \(\frac {8^{x} – 8^{-x}}{2^{x}+ 2^{-x}} = … .\) 
a. \(\frac{29}{8}\) 
b. \(\frac{143}{40}\) 
c. \(\frac{31}{6}\) 
d. \(\frac{16}{3}\) 
e. \(\frac{43}{6}\) 
PEMBAHASAN : 

\(\begin{eqnarray} 4^{x} &=& 6 \\ 2^{2x} &=& 6 \\ 2^{x} &=& \sqrt {6} 2^{3x} &=& 6\sqrt {6} \end{eqnarray}\) 

\(\begin{eqnarray} \frac {8^{x} – 8^{-x}}{2^{x}+ 2^{-x}} &=& \frac{2^{3x} - \frac{1}{2^{3x}}}{2^{x} + \frac{1}{2^{x}}} \\ &=& \frac{6\sqrt {6} - \frac{1}{6\sqrt{6}}} {\sqrt {6} + \frac {1}{\sqrt {6}}} \\ &=& \frac{6\sqrt {6} - \frac{1}{6\sqrt{6}}} {\sqrt {6} + \frac {1}{\sqrt {6}}} \times \frac {\sqrt {6}}{\sqrt {6}}\\ &=& \frac {36 + \frac{1}{6}} { 6 + 1} \\ &=& \frac { 417}{41} \\ &=& \frac{31}{6} \end{eqnarray}\) 
JAWABAN : C 

7. SBMPTN 2013 KODE 329 
Jika \(9^{m + 1} – 2 \cdot 9^{m} = 14\), maka \(27^{m} = … .\) 
a. \(\sqrt {2}\) 
b. 2 
c. \( 2\sqrt {2}\)
d. 4
 e. 6 
PEMBAHASAN : 

 \(\begin{eqnarray} 9^{m + 1} – 2\cdot 9^{m} &=& 14 \\ 9^{m} \cdot 9 – 2\cdot 9^{m} &=& 14 \end{eqnarray}\) 

Misalkan \(9^{m} = y\) 
\(\begin{eqnarray} 9y - 2y &=& 14 \\ 7y &=& 14 \\ y &=& 2 \\ 9^{m} &=& 2 \\ 3^{2m} &=& 2 \\ 3^{m} &=& \sqrt {2} \\ \end{eqnarray}\)
 \(\begin{eqnarray} 27^{m} &=& 3^{3(m)} \\ &=& 3^{m (3)} \\ &=& (\sqrt {2})^{3} \\ &=& 2\sqrt{2} \end{eqnarray}\) 
JAWABAN : C 

8. SIMAK UI TAHUN 2009 KODE 951 
Jika \(x + \frac{1}{x} = 5\) maka nilai dari \(x^{3} + \frac {1}{x^{3}} = … .\) 
a. 140 
b. 125 
c. 110 
d. 75 
e. 15 
PEMBAHASAN :

INGAT : \(A^{3} + B^{3} = (A+B)^{3} -3AB (A+B)\)

\(\begin{eqnarray} x^{3} + \frac {1}{x^{3}} &=& (x^{3} + \frac {1}{x^{3}})^{3} -3x \cdot \frac{1}{x} (x + {\frac{1}{x}}) \\ &=& (5)^{3} – 3(5) \\ &=& 125 -15 \\ &=& 110 \end{eqnarray}\) 
JAWABAN : C 

9. SPMB 2004 
Dalam bentuk pangkat positif dan bentuk akar, bentuk sederhana dari \(\frac{(x^{-1} –y^{1}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}\) adalah …. 
a. \(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{xy}\) 
b. \(\frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{xy}\) 
c. \(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{xy}\) 
d. \(xy (\sqrt{x} + \sqrt{y})\) 
e. \( xy(\sqrt{x} - \sqrt {y})\) 
PEMBAHASAN :

\(\begin{eqnarray} \frac{(x^{-1} –y^{1}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} &=& \frac {\frac {1}{x} - \frac{1}{y}} {\sqrt{x} + \sqrt{y}} \\ &=& \frac {\frac {1}{x} - \frac{1}{y}} {\sqrt{x} + \sqrt{y}} \times \frac {\sqrt {x} - \sqrt {y}}{\sqrt{x} - \sqrt {y}} \\ &=&\frac{\frac {y-x}{xy}(\sqrt {x} - \sqrt {y})}{x- y} \\ &=& \frac {\frac {-(x - y)}{xy}(\sqrt {x} - \sqrt {y})}{x - y} \\ &=& \frac {\sqrt {y}- \sqrt {x}}{xy} \end{eqnarray}\) 
JAWABAN : B 

10. SBMPTN 2010 
Jika n memenuhi \(25^{0,25} \times25^{0,25} \times25^{0,25} \times … \times 25^{0,25} =125 ) \), maka \((n-3)(n+2 ) = ...\) 
a. 36 
b. 32 
c. 28 
d. 26 
e. 24 
PEMBAHASAN : 

\(\begin{eqnarray} (25^{0,25})^{n} &=& 125\\ 25^{0,25n} &=& 125 \\ (5^{2})^{0,25n} &=& 5^{3} \\ 5^{0,5n} &=& 5^{3} \\ 0,5n &=& 3 \\ n &=& 6 \\ (n -3)(n+2) &=& (6 -3)(6+2) \\ &=& 3 \times 8 \\ &=& 24 \end{eqnarray}\) 

JAWABAN : E