SBMPTN adalah seleksi bersama masuk perguruan tinggi. SBMPTN ini sendiri merupakan seleksi masuk PTN yang umum, yakni menggunakan nilai ujian tertulis yang diselenggarakan serentak oleh semua PTN. SBMPTN ini memiliki kesulitan yang tinggi, oleh karena itu diperlukan belajar yang extra untuk mencapai hasil yang maksimal. pada postikan kali ini akan di bahas beberapa contoh soal SBMPTN SAINTEK untuk mata pelajaran Matematika dari beberapa tahun silam.




1    1. Misalkan A dan B pada lingkaran \(x^{2}+ y^{2}-6x-2y+k =0\) sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan  di C (8,1). Jika luas segi empat yang melalui A,B,C dan pusat lingkaran adalah 12, maka k ….
    A. -1
    B. 0
    C. 1
    D. 2
    E. 3
Jawab :
Pusat lingkaran (3,1)
Di titik C (8,1)
Persamaan garis polar (persamaan garis AB) yang didapat adalah 
\[\begin{eqnarray} x_{c} x + y_{c} y -3(x + x_{c}) - (y + y_{c}) + k &=& 0 \\ 8x + y - 3(x+8) –(y+1)+k &=& 0 \\ 8x +y -3x -24 –y -1 + k &=& 0 \\ 5x +k -25 &=& 0 \\ x &=& \frac {1}{5}(25 - k) \\ x &=& 5 - \frac {k}{5} \\ \end{eqnarray}\]
Menentukan  titik potong dari A dan B, substitusikan x pada persamaan lingkaran
\[\begin{eqnarray} (5 - \frac{k}{5})^{2}+ y^{2}-6(5-\frac{k}{5})-2y +k &=& 0 \\ 25 -2k + \frac {k^{2}}{25} +y^{2}-30+\frac{6k}{5}-2y+k &=& 0 \\ y^{2}-2y-5+\frac{k^{2}}{25}+\frac{k}{5} &=& 0 \\ (y^{2}-2y+1)-6+ \frac{k^{2}}{25}+\frac{k}{5} &=& 0 \\ (y-1)^{2} &=& 6 -\frac{k^{2}}{25}-\frac{k}{5} \\ y &=& 1 \pm \sqrt {6-\frac{k^{2}}{25}-\frac{k}{5}} \\ \end{eqnarray}\]
Perlu diingat : jarak CD  adalah 5 satuan, dengan luasnya 12 satuan luas. Maka AB = \(12\times 2 \div 5 = \frac {24}{5}\), Karena jaraknya adalah demikian maka :
\[\begin{eqnarray} | (1+ \sqrt{6-\frac{k^{2}}{25}} -\frac{k}{5}) -(1- \sqrt{6-\frac{k^{2}}{25}} -\frac{k}{5}) = \frac {24}{5} | \\ 2\sqrt {6-\frac{k^{2}}{25} -\frac{k}{5}} = \frac {24}{5}\\ \sqrt {6-\frac{k^{2}}{25}-\frac{k}{5}} = \frac {12}{5}\\ 6- \frac{k^{2}}{25} -\frac{k}{5} = \frac {144}{25}\\ \frac{150-k^{2}-5k}{25} = \frac {144}{25}\\ -k^{2}-5k+150 = 144 \\ k^{2}+5k-6 = 0 \\ (k-1)(k+6) = 0 \\ \end{eqnarray}\] Diperoleh k =1 atau k = -6
Jawaban : C

2. Pencerminan garis \(y = -x+2 \) terhadap garis \(y = 3\) menghasilkan garis …
A. \(y= x+4\)
B. \(y =-x+4\)
C. \(y =x+2\)
D. \(y =x-2\)
E. \(y =-x-4\)
Jawab :
Pencerminan terhadap garis y = h atau y = 3
\[\begin{eqnarray} (x,y)\overset {p(y = 3)} {\rightarrow} (x,6-y) \\ \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} x &=& x^{‘} \\ 6-y &=& y^{‘}\\ y &=& 6 – y^{‘} \end{eqnarray}\]
Persamaan garis mula mula :
\[\begin{eqnarray} y &=& -x+2 \\ 6-y^{‘} &=& -x^{‘}+2 \\ 6+x^{‘}-2 &=& y^{‘}\\ 4+x^{‘} &=& y^{‘}\\ y &=& x+4 \end{eqnarray}\]
Jawaban : A

3. Nilai C yang memenuhi \((0.036)^{3x^{2}+3x-c} < (0.06^{2x^{2}-2x+8})\) adalah….
A.\(c<4\)
B.\(c>-6\)
C.\(c<-2\)
D.\(c>-4\)
E.\(c>-2\)

Jawab :
\[\begin{eqnarray} (0.036)^{3x^{2}+3x-c} &<& (0.06^{2x^{2}-2x+8}) \\ (0.06)^{6x^{2}+6x-2c} &<& (0.06^{2x^{2}-2x+8})\\ 6x^{2}+6x-2c &<& 2x^{2}-2x+8\\ 4x^{2}+8x-8 &<& 2c \\ c &>& 2x^{2} +4x -4\\ c +4 &>& 2x^{2}+4x\\ c + 4 &>& 2x(x+2); pembuat \  nol \rightarrow x = -2\\ c+4 &>& -2 \\ c &>& -6 \end{eqnarray}\]
Jawaban: B

4.  Jika \(x_{1},x_{2}\) adalah akar akar \(9^{x}-4\cdot3^{x+1}-2\cdot3^{x}+a=0\) di mana \(x_{1}+x_{2}=2\cdot {}^3log\, 2+1\) maka a =….
A. 27
B. 24
C. 18
D. 12
E.  6

Jawab  :
\[\begin{eqnarray} 9^{x}-4\cdot3^{x+1}-2\cdot3^{x}+a &=&0 \\ (3^{x})^{2} – 14(3^{x})+a &=&0 \\ x_{1}\cdot x_{2} = \frac {c}{a}= \frac {a}{1} = a \end{eqnarray}\]
Maka :

\[\begin{eqnarray} 3^{x_{1}}\cdot 3^{x_{2}} &=& a \\ 3^{x_{1}+x_{2}} &=& a \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} x_{1}+x_{2} = {}^3 log \, a &=& 2 \cdot {}^3log\, 2+1 \\ {}^3log \,a &=& {}^3log \, 2^{2} +{}^3 log \, 3 \\ {}^3 log \, a &=& {}^3 log \, 12 \\ a &=& 12 \\ \end{eqnarray}\]
Jawaban : D

5. Nilai \(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(\sqrt{5-x-}2) (\sqrt{2-x}+1)}{1-x }\) adalah….
A. \(-\frac{1}{2}\)
B. \(-\frac{1}{4}\)
C. \(\frac{1}{8}\)
D. \(\frac{1}{4}\)
E. \(\frac{1}{2}\)
Jawab :

\[\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(\sqrt{5-x}-2) (\sqrt{2-x}+1)}{1-x } &=& \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(\sqrt{5-x}-2) (\sqrt{2-x}+1)}{1-x } \cdot \frac{\sqrt{5-x}+2}{\sqrt {5-x}+2} \\ &=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(5-x)-4\cdot \sqrt{2-x}+1}{1-x(\sqrt{5-x}+2)}\\ &=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{5-x}+1}{\sqrt{5-x}+2} \\ &=& \frac {1}{2}\\ \end {eqnarray}\]
Jawaban : E

Demikian lah  soal dan pembahasan SBMPTN, semoga bermanfaat dan teruslah belajar. jangan lupa bagikan postingan ini kepada teman teman mu.