Pada postingan kali ini, saya akan membahasa tentang persamaan Kuadrat. nah apa itu persamaan kuadrat ? persamaan kuadrat merupakan salah satu persamaan matematika dimana variabel memiliki pangkat tertinggi dua (2). Bentuk umumnya adalah: Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta a ≠ 0. Penyelesaian atau pemecahan dari sebuah persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat.


Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

persamaan kuadrat memiliki bentuk umum \(ax^{2}+bx+c=0\) atau  \(ay^{2}+by+c=0\) untuk a, b, c adalah anggota bilangan Real, x, y variabel dan \(a \neq 0\). Dengan rumus diskriminan :
\(\begin{eqnarray}
D = b^{2} - 4ac
\end{eqnarray}\)

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat

Jika \(x_{1} \  dan \  x_{2} \) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \(ax^{2}+bx+c=0\) maka akar-akar tersebut dapat diperoleh dengan cara :
  1. Faktorisasi 
    2. \(\begin{eqnarray} a(x-x_{1})(x-x_{2}) = 0 \end{eqnarray}\)
  2. Melengkapi kuadrat sempurna \(x^{2}+bx+c = 0\) di mana a = 1 maka :
    3. \(\begin{eqnarray} (x+\frac{b}{2})^{2} = -c + (\frac{b}{2})^{2} \end{eqnarray}\)
  3. Rumus abc 
    4. \(\begin{eqnarray} x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{eqnarray}\)

Bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat 

Jika \(x_{1} \ dan \  x_{2}\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(ax^{2}+bx+c=0\) maka berlaku :

\(\begin{eqnarray}
x_{1}+x_{2}&=& -\frac{b}{a} \\
x_{1} \cdot x_{2} &=& \frac {c}{a}\\
x_{1} –x_{2} &=& \frac {\sqrt{D}}{a}\\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &=& (x_{1}+x_{2})^{2} – 2x_{1}\cdot x_{2}\\
x_{1}^{2}-x_{2}^{2} &=& (x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2}) \\
\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}} &=& \frac {x_{1}+x_{2}} {x_{1}\cdot{x_{2}}} \\
x_{1}^{4}+x_{2}^{4} &=& (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{2} – 2(x_{1}\cdot x_{2})^{2}\\
x_{1}^{4}-x_{2}^{4} &=& (x_{1}^{2}+x_{1}^{2})(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}) \\
x_{1}^{3}+x_{2}^{3}& =& (x_{1}+x_{2})^{3}- 3x_{1}\cdot x_{2} (x_{1}+x_{2}) \\
x_{1}^{3}-x_{2}^{3} &=& (x_{1}-x_{2})^{3} + 3x_{1} \cdot x_{2}(x_{1}-x_{2}) \\
\end{eqnarray}\)

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 

 Berdasarkan nilai diskriminan \(D = b^{2}-4ac\), akar-akar terbagi menjadi dua jenis, yaitu :
  1. Jika \(D \geq 0\) maka akar-akarnya real
  2. Jika \(D >  0\), akarnya real berlainan
  3. Jika \(D = 0\), akarnya real kembar
Jika akar-akarnya real maka hubungan akar-akar \(x_{1} \  dan \  x_{2}\) mempunyai syarat-syarat yaitu :
Akar-akarnya real positif  :
\(D \geq 0, \  x_{1}+x_{2} > 0, \  x_{1}\cdot x_{2} > 0\)

Akar-akarnya real negative
\(D>0, \  x_{1}+x_{2}=0, \  x_{1}\cdot x_{2}<0\)

Akar-akarnya berlawanan tanda
\(D>0, \  x_{1} \cdot x_{2} = 1\)

Akar-akarnya berlawanan
\(D >0, \  x_{1}+x_{2} =0,\  x_{1} \cdot x_{2} <0\)

Akar-akarnya saling berkebalikan
\(D>0, \  x_{1} \cdot x_{2} = 1\)

Menyusun persamaan kuadrat baru 

\(\begin {eqnarray}
(x-a)(x-b )= 0
\end{eqnarray}\)
Atau
\(\begin {eqnarray}
x^{2}-{x_{1}+x_{2}}x + (x_{1} \cdot x_{2}) = 0
\end{eqnarray}\)

CONTOH SOAL

1. Misalkan \(x_{1} \  dan\  x_{2}\) merupakan akar-akar positif dari persamaan \(x^{2} – mx + n = 0\). Jika \(x_{1}^{2}-x_{2}^{2} = -3\) dan \(\frac {x_{1}}{x_{2}}= \frac {1}{2}\), maka \(\frac {m}{n}\)= …?

A. 1

B. 1,5

C. 2

D. 1,75

E. 2,5

PEMBAHASAN :

\(\begin {eqnarray} \frac{x_{1}}{x_{2}}&=& \frac{1}{2}\\ x_{2}&=& 2x_{1}\\ x_{1}^{2} – x_{2}^{2} &=& -3 \\ x_{1}^{2} – (2x_{1})^{2} &=& -3\\ -3x_{1}^{2} &=& -3 \\ x_{1}^{2}&=& 1 \\ x_{1}&=& \pm 1 \end{eqnarray}\)
 
Karena \(x_{1} \  dan \  x_{2}\) merupakan akar-akar positif maka \(x_{1} = 1\), dan \(x_{2}\) : 
\(\begin {eqnarray} x_{2} &=& 2x_{1} \\ x_{2}&=& 2 \end{eqnarray}\) 
Setelah didapat \(x_{1} = 1 \  dan \  x_{2}= 2\), kemudian cari nilai m dan n 
\(\begin {eqnarray} x_{1} + x_{2} &=& m\\ m &=& 1 + 2 \\ m &=& 3 \\ x_{1} \cdot x_{2} &=& n \\ n &=& 2 \end{eqnarray}\)
 
Setelah didapat nilai dari m dan n, kemudian substitusikan : 
\(\frac {m}{n} = \frac {3}{2} = 1,5\) 

JAWABAN : C

2. Jumlah pangkat 3 akar-akar persamaan \(x^{2}-2x+p=0\) adalah 98, maka nilai p adalah….

A. 25

B.-15

C.20

D. 15

E.-20

PEMBAHASAN :

\(\begin{eqnarray} x_{1} +x_{2} &=& -\frac{b}{a} \\ &=& 2\\ x_{1}\cdot x_{2} &=& \frac {c}{a}\\ &=& p\\ \end{eqnarray}\)

Dari soal diketahui \(x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 98\), maka :

\(\begin {eqnarray} x_{1}^{3} + x_{2}^{3} &=& 98\\ (x_{1}+x_{2})^{3} – 3x_{1}\cdot x_{2}(x_{1}+x_{2}) &=& 98\\ (2)^{3}-3p(2) &=& 98 \\ 8 -6p &=& 98\\ p &=& -15 \end {eqnarray}\)

JAWABAN : B

3. Akar-akar positif dari persamaan \(x^{2}+mx+n=0\) adalah \(\alpha\) dan \(\beta\). Jika \(2\beta - \alpha = 12\) dan \(\alpha^{2} = 4\beta\) maka m+n = ….

a. 39

b.38

c. 40

d. 37

e. 38

PEMBAHASAN :

\(\begin{eqnarray} \alpha^{2} &=& 4\beta \\ \beta &=& \frac {\alpha^{2}}{4}\\ \end{eqnarray}\)
 Nilai dari \(\beta = \frac {\alpha^{2}}{4}\) 
kemudian di substitusikan ke \(2\beta - \alpha = 12\) : 
\(\begin {eqnarray} 2\beta -\alpha &=& 12\\ 2(\frac{\alpha^{2}}{4})-\alpha &= & 12\\ \frac{\alpha^{2}}{2}-\alpha &=& 12\\ \alpha^{2}- 2\alpha -24 &=& 0 \\ (\alpha-6)(\alpha+4) &=& 0\\ \alpha = 6 \  atau \  \alpha = -4 \end{eqnarray}\) 
Karena yang diperlukan akar-akar positif maka, \(\alpha = 6\) substitusikan ke \(2\beta - \alpha = 12\): 
\(\begin{eqnarray} 2\beta - \alpha &=& 12 \\ 2\beta – 6 &=& 12 \\ 2\beta &=&18\\ \beta &=& 9 \end {eqnarray}\) 
Subtitusikan nilai dari \(\alpha \) dan \(\beta\) 
\(\begin{eqnarray} (x-\alpha)(x-\beta) &=&0 \\ (x-6)(x-9) &=&0 \\ x^{2}-15x+54 &=&0 \\ \end {eqnarray}\) 
Setelah persamaan baru didapat, kemudian cari nilai dari m dan n : 
\(\begin{eqnarray} -m &=& x_{1} +x_{2}\\ m &=& -15\\ n &=& x_{1} \cdot x_{2}\\ n &=& 54\\ m+n &=& -15 + 54\\ &=& 39 \end {eqnarray}\)

JAWABAN : A